Tìm số phức có môđun nhỏ nhất và thỏa mãn điều kiện cho trước

Số phức là một nội dung mới trong các đề thi Đại học Cao đẳng gần đây. Đây là một nội dung khá dễ chịu đối với thí sinh. Câu hỏi về số phức trong đề thi thường rất cơ bản, thí sinh nắm vững khái niệm số phức, ý nghĩa hình học, các phép toán cộng trừ, nhân chia, khai căn số phức và dạng lượng giác của số phức là có thể làm được bài. Trong bài viết này, xin giới thiệu một dạng bài tập liên quan đến số phức là biểu diễn hình học của số phức và tìm số phức có môđun nhỏ nhất thỏa mãn điều kiện cho trước.

Trước hết xét một số ví dụ về biểu diễn hình học của số phức.

Download : http://www.mediafire.com/?4xtykti41irca8h

Password : wWw.kenhdaihoc.com

Nếu bạn thấy bài viết này hay và có ích với bạn hãy nhấn nhấn "Thank" và chia sẻ bài viết này nhé

Ví dụ 1.
Tìm tập hợp các điểm $M$ trên mặt phẳng phức biểu diễn các số phức thỏa mãn
a) $|z-2|=3$ ;
b) $|z+i|<1$ ;
c) $|z-1+2i|>3$
Lời giải.
Viết $z$ dưới dạng đại số $z=x+yi, (x,y\in \mathbb{R})$
a) $|z-2|=3\Leftrightarrow |x+yi-2|=3\Leftrightarrow |(x-2)+yi|=3$
$\Leftrightarrow \sqrt{(x-2)^2+y^2}=3\Leftrightarrow (x-2)^2+y^2=9$
Vậy tập hợp cần tìm là đường tròn tâm $I(2;0)$ bán kính $R=3$
b) $|z+i|<1\Leftrightarrow |x+yi+i|<1\Leftrightarrow |x+(y+1)^2|<1$
$\Leftrightarrow \sqrt{x^2+(y+1)^2}<1\Leftrightarrow x^2+(y+1)^2<1$
Vậy tập hợp cần tìm là hình tròn tâm $I(0;-1)$ bán kính $R=1$ , không kể những điểm thuộc đường tròn biên.
c) $|z-1+2i|>3\Leftrightarrow |x+yi-1+2i|>3\Leftrightarrow |(x-1)+(y+2)i|>3$
$\Leftrightarrow \sqrt{(x-1)^2+(y+2)^2}>3\Leftrightarrow (x-1)^2+(y+2)^2>9$
Vậy tập hợp cần tìm là tất cả những điểm nằm ngoài hình tròn tâm $I(1;-2)$ bán kính $R=3$ .
Ví dụ 2 (Khối B-2010)
Trong mặt phẳng $Oxy$ , tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức $z$ thỏa mãn $|z-i|=|(1+i)z|$
Lời giải.
Viết $z=x+yi, (x,y\in\mathbb{R})$
Khi đó $|z-i|=|(1+i)z|\Leftrightarrow |x+(y-1)i|=|(x-y)+(x+y)i|$
$\Leftrightarrow x^2+(y-1)^2=(x-y)^2+(x+y)^2\Leftrightarrow x^2+y^2+2y-1=0\Leftrightarrow x^2+(y+1)^2=2$
Vậy tập hợp cần tìm là đường tròn tâm $I(0;-1)$ bán kính $R=\sqrt{2}$ .
Bây giờ ta xét thêm một số ví dụ kết hợp biểu diễn hình học và tìm số phức có môđun nhỏ nhất.
Ví dụ 3.
Trong các số phức $z$ thỏa mãn $|z-1-2i|=2$ , tìm số phức $z$ có môđun nhỏ nhất.
Lời giải.
Viết $z=x+yi, (x,y\in\mathbb{R})$
Khi đó $|z-1-2i|=2\Leftrightarrow |(x-1)+(y-2)i|=2\Leftrightarrow (x-1)^2+(y-2)^2=4$
Suy ra tập hợp các điểm trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ biểu diễn cho các số phức $z$ thỏa mãn $|z-1-2i|=2$ là đường tròn $(C)$ có tâm $I(1;2)$ bán kính $R=2$
Do môđun của một số phức được biểu diễn bởi điểm $M$ là khoảng cách từ $M$ đến gốc tọa độ $O$ nên sô phức có môđun nhỏ nhất thỏa mãn $|z-1-2i|=2$ là số phức được biểu diễn bởi $M\in (C)$ và cách gốc $O$ khoảng ngắn nhất.
Suy ra $M$ là giao điểm gần gốc $O$ nhất của $(C)$ với đường thẳng $d$ đi qua $O$ và $I$ .

$d$ có VTCP $\overrightarrow{OI}=(1;2)$ .
PTTS của $d:\begin{cases} x=t&\\ y=2t& \end{cases}$
$M\in d\Rightarrow M(t;2t)$
$M\in (C)\Rightarrow (t-1)^{2}+(2t-2)^{2}=4\Leftrightarrow 5t^2-10t+1=0$
$\Leftrightarrow t=\dfrac{5-2\sqrt{5}}{5}$ hoặc $t=\dfrac{5+2\sqrt{5}}{5}$
Suy ra $M=\left(\dfrac{5-2\sqrt{5}}{5};\dfrac{10-4\sqrt{5}}{5}\right)$ thuộc $(C)$ và gần $O$ nhất.
Vậy số phức cần tìm là $z=\dfrac{5-2\sqrt{5}}{5}+\dfrac{10-4\sqrt{5}}{5}i$
Ví dụ 4. Trong các số phức $z$ thỏa mãn $|z-2-4i|=|z-2i|$ , tìm số phức $z$ có môđun nhỏ nhất.
Lời giải.
Viết $z=x+yi, (x,y\in\mathbb{R})$ .
Khi đó $|z-2-4i|=|z-2i|\Leftrightarrow |(x-2)+(y-4)i|=|x+(y-2)i|\Leftrightarrow (x-2)^2+(y-4)^2=x^2+(y-2)^2$
$\Leftrightarrow -4x-4y+16=0\Leftrightarrow x+y-4=0\Leftrightarrow y=4-x$
Đến đây ta có thể giải theo hai cách:
Cách 1 (Đại số)
Ta có $|z|=\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{x^2+(4-x)^2}=\sqrt{2x^2-8x+16}=\sqrt{2(x-2)^2+8}\geq 8$
Dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi $x=2$ .
Vậy $\min |z|=2\sqrt{2}$ khi $x=2,y=2$ hay $z=2+2i$
Cách 2 (Hình học)
Tập hợp các điểm $M$ biểu diễn các số phức $z$ thỏa mãn $|z-2-4i|=|z-2i|$ là đường thẳng $d:y=4-x$ .
Số phức $z$ có môđun nhỏ nhất thỏa mãn $|z-2-4i|=|z-2i|$ được biểu diễn bởi điểm $M$ trên $d$ cách $O$ khoảng gần nhất. Do đó $M$ là hình chiếu của $O$ trên $d$ .

Gọi $\Delta$ là đường thẳng qua $O$ và vuông góc với $d\Rightarrow M=\Delta\cap d$
VTPT của $\Delta$ là $\overrightarrow{n}=\overrightarrow{u_d}=(-1;1)$
$\Delta: -1(x-0)+1(y-0)=0\Leftrightarrow -x+y=0$
Do đó $M:\begin{cases} y=4-x&\\ -x+y=0& \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases} x=2&\\ y=2& \end{cases}\Rightarrow M(2;2)$
Vậy $z=2+2i$
Nhận xét: Có thể nói đa số tập hợp số phức phải tìm được biểu diễn bởi đường thẳng hoặc đường tròn. Nếu được biểu diễn bởi đường thẳng thì ta nên giải theo phương pháp đại số cho ngắn gọn. Trường hợp không phải đường thẳng thì dùng phương pháp hình học.
Bài tập đề nghị
Bài 1 (Khối D-2009). Trong mặt phẳng $Oxy$ tìm tập hợp các điểm biểu diễn cho các số phức $z$ thỏa mãn $|z-(3-4i)|=2$ .
Bài 2. Trong các số phức thỏa mãn $|z-2+3i|=\dfrac{3}{2}$ , tìm số phức có môđun nhỏ nhất.
Bài 3. Trong mặt phẳng $Oxy$ tìm tập hợp các điểm biểu diễn cho các số phức $z$ thỏa mãn:
a) $|z+\overline{z}+3|=4$ ;
b) $|z^2-(\overline{z})^2|=4$ ;
c) $2|z-1|=|z-\overline{z}+2|$ .

Nguồn: mathblog